已知c为常数，s2=1n[（x1-.x）2+（x2-.x）2+…+（xn-.x）2]，sc2=1n[（x1-c）2+（x2-c）2+…+（xn-c）2]．证明：s2≤sc2，当且仅当c=.x时，取“=”．-数学试题及答案

1、试题题目：已知c为常数，s2=1n[（x1-.x）2+（x2-.x）2+…+（xn-.x）2]，sc2=1n[..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

已知c为常数，s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，s_c²=

1

n

[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]．证明：s²≤s_c²，当且仅当c=

.

x

时，取“=”．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：标准差、方差

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：∵

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，
∴s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2

.

x

（x₁+x₂+…+x_n）+n

.

x

2]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n

.

x

²]，
s_c²=

1

n

[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2c（x₁+x₂+…+x_n）+nc²]，
∴s_c²-s²=

.

x

²-

2c

n

（x₁+x₂+…+x_n）+c²
=

.

x

²-2c?

.

x

+c²=（

.

x

-c）²≥0．
∴s_c²≥s²，当且仅当

.

x

=c时取“=”．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知c为常数，s2=1n[（x1-.x）2+（x2-.x）2+…+（xn-.x）2]，sc2=1n[..”的主要目的是检查您对于考点“高中标准差、方差”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中标准差、方差”。

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