已知抛物线P：x2=2py（p＞0）．（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3．（ⅰ）求抛物线P的方程；（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线P：x2=2py（p＞0）．（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线P：x²=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

试题来源：丰台区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离与到准线距离相等，
即M（m，2）到y=-

p

2

的距离为3；
∴-

p

2

+2=3，解得p=2．
∴抛物线P的方程为x²=4y．
（ⅱ）抛物线焦点F（0，1），抛物线准线与y轴交点为E（0，-1），
显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为y=kx-1．
由

x2=4y

y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，
△=16k²-16=0，解得k=±1．
∴切线方程为y=±x-1．
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设l：y=kx+

p

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=2py

y=kx+

p

2

消y得 x²-2pkx-p²=0．且△＞0．
∴x₁+x₂=2pk，x₁?x₂=-p²；
∵A（x₁，y₁），∴直线OA：y=

y1

x1

x，
与y=-

p

2

联立可得C(-

px1

2y1

，-

p

2

)，同理得D(-

px2

2y2

，-

p

2

)．
∵焦点F(0，

p

2

)，
∴

FC

=(-

px1

2y1

，-p)，

FD

=(-

px2

2y2

，-p)，
∴

FC

?

FD

=(-

px1

2y1

，-p)?(-

px2

2y2

，-p)=

px1

2y1

px2

2y2

+p2=

p2x1x2

4y1y2

+p2=

p2x1x2

4

x12

2p

x22

2p

+p2=

p4

x1x2

+p2=

p4

-p2

+p2=0
∴以CD为直径的圆过焦点F．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线P：x2=2py（p＞0）．（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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