（理）斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于两点A、B．（1）若p=2，求|AB|的值；（2）将直线AB按向量a=(-p，0)平移得直线m，N是m上的动点，求NA?NB的最小值．（3）-数学试题及答案

1、试题题目：（理）斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于两点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

（理）斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于两点A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）将直线AB按向量

a

=(-p，0)平移得直线m，N是m上的动点，求

NA

?

NB

的最小值．
（3）设C（p，0），D为抛物线y²=2px（p＞0）上一动点，是否存在直线l，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：闵行区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），p=2时，直线AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0（2分）
则x₁+x₂=6，由定义可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．（4分）
（2）直线AB：y=x-

p

2

，代入y²=2px（p＞0）中，可得：x2-3px+

1

4

p2=0
则x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

，设N(x0，x0+

p

2

)，
则

NA

=(x1-x0，y1-x0-

p

2

)，

NB

=(x2-x0，y2-x0-

p

2

)
即

NA

?

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

20

+y1y2-(x0+

p

2

)(y1+y2)+(x0+

p

2

)2（2分）
由x1+x2=3p，x1x2=

p2

4

，y1y2=-p2，y1+y2=2p（4分）
则

NA

?

NB

=2

x

20

-4px0-

3

2

p2=2(x0-p)2-

7

2

p2
当x₀=p时，

NA

?

NB

的最小值为-

7

2

p2．（6分）
（3）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，
设CD的中点为O'，l与以CD为直径的圆相交于点P、Q，设PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，O'点的坐标为(

x1+p

2

，

y1

2

)．
∵|O′P|=

1

2

|CD|=

1

2

(

x

1

-p)2+y12

=

1

2

x

21

+p2

，
|O′H|=|a-

x1+p

2

|=

1

2

|2a-x1-p|，（2分）
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

(

x

21

+p2)-

1

4

(2a-x1-p)2=(a-

p

2

)x1+a(p-a)，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[(a-

p

2

)x1+a(p-a)]．（5分）
令a-

p

2

=0，得a=

p

2

，此时|PQ|=p为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为x=

p

2

，即抛物线的通径所在的直线．（7分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于两点..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：