已知二次函数f（x）=x2+mx+n对任意x∈R，都有f（-x）=f（2+x）成立，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx，12），c=（cos2x，1），d=（1，2），（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求不-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=x2+mx+n对任意x∈R，都有f（-x）=f（2+x）成立，设向..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

已知二次函数f （x）=x²+mx+n对任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，设向量

a

=（ sinx，2 ），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（ cos2x，1 ），

d

=（1，2），
（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求不等式f （

a

?

b

）＞f （

c

?

d

）的解集．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设f（x）图象上的两点为A（-x，y₁）、B（2+x，y₂），
因为

(-x)+(2+x)

2

=1
f （-x）=f （2+x），所以y₁=y₂
由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f（x）是增函数；x≤1时，f（x）是减函数，
∴函数的单调增区间是[1，+∞）；单调减区间是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵

a

?

b

=（sinx，2）?（2sinx，

1

2

）=2sin²x+1≥1，

c

?

d

=（cos2x，1）?（1，2）=cos2x+2≥1，
∵f（x）在是[1，+∞）上为增函数，
∴f （

a

?

b

）＞f （

c

?

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+2）
?2sin²x+1＞cos2x+2?1-cos2x+1＞cos2x+2
?cos2x＜0?2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z
?kπ+

π

4

＜x＜kπ+

3π

4

，k∈z
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3π

4

综上所述，不等式f （

a

?

b

）＞f （

c

?

d

）的解集是：{ x|

π

4

＜x＜

3π

4

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=x2+mx+n对任意x∈R，都有f（-x）=f（2+x）成立，设向..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

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