已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．（1）证明：AB⊥AD．（2）若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．（1）证明：AB⊥AD．（2）若点C使得..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-19 07:30:00

试题原文

已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．
（1）证明：AB⊥AD．
（2）若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量基本定理及坐标表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：可得

AB

=(1，1)，

AD

=(-3，3)，

AB

?

AD

=1×(-3)+1×3=0，
∴AB⊥AD；
（2）由（1）及四边形ABCD为矩形，得

AB

=

DC

，设C（x，y），
则（1，1）=（x+1，y-4），∴

x+1=1

y-4=1

，得

x=0

y=5

，即C（0，5）；
∴

AC

=(-2，4)，

BD

=(-4，2)，
得

AC

?

BD

=8+8=16，|

AC

|=2

5

，|

BD

|=2

5

，
设

AC

与

BD

夹角为θ，则cosθ=

16

20

=

4

5

＞0，
∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值

4

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．（1）证明：AB⊥AD．（2）若点C使得..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量基本定理及坐标表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量基本定理及坐标表示”。

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