已知椭圆方程为x2+y28=1，射线y=22x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求△AMB面积的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆方程为x2+y28=1，射线y=22x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆方程为x²+

y2

8

=1，射线y=2

2

x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△AMB面积的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（

2

，2），
直线MA方程为y-2=k（x-

2

），直线MB方程为y-2=-k（x-

2

）．
分别与椭圆方程联立，可解出x_A=

2

k2-4k

k2+8

-

2

，x_B=

2

k2+4k

k2+8

-

2

．
则y_A=2-k（x-

2

），y_B=2+k（x-

2

），
k_AB=

yA-yB

xA-xB

=2

2

；
∴k_AB=2

2

（定值）．
（2）设直线AB方程为y=2

2

x+m，与x²+

y2

8

=1联立，消去y得16x²+4

2

mx+（m²-8）=0
由△＞0得-4＜m＜4，且m≠0，点M到AB的距离d=

|m|

3

．
设△AMB的面积为S．∴S²=

1

4

|AB|²d²=

1

32

m²（16-m²）≤

1

32

?(

16

2

)2=2．
当m=±2

2

时，得S_max=

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆方程为x2+y28=1，射线y=22x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：