设椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C2：x2=43y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=12，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C2：x2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

设椭圆 C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线 C₂：x2=4

3

y 的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率 e=

1

2

，过椭圆右焦点 F₂的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线 l，使得

OM

?

ON

=-2，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）抛物线 C₂：x2=4

3

y 的焦点坐标为（0，

3

），
∴椭圆的一个顶点为（0，

3

），即b=

3

∵e=

c

a

=

1-

b2

a2

=

1

2

，∴a=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意，直线l与椭圆必相交
①斜率不存在时，直线l为x=1，代入椭圆方程，可得y=±

3

2

，∴

OM

?

ON

=-

9

4

，不合题意；
②斜率存在时，设方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∴

OM

?

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

4k2-12

3+4k2

+k²（

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1）=

-5k2-12

3+4k2

=-2
∴k=±

2

，
故直线l的方程为y=

2

（x-1）或y=-

2

（x-1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C2：x2..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：