动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x2=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦．（1）当圆心D在原点时，过抛物线的焦点F作直线l交圆D于B、C两点，求△ABC的最大面积；（2）当圆心D运动时-数学试题及答案

1、试题题目：动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x2=4y上运动，MN为圆D在x轴上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x²=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦．
（1）当圆心D在原点时，过抛物线的焦点F作直线l交圆D于B、C两点，求△ABC的最大面积；
（2）当圆心D运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设直线BC为y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，
S=

1

2

|FA||x1-x2|
=

|x1-x2|

2

=

(x1+x2)2-4x1x2

2

=

4k2+3

(1+k2)2

=

4-(

1

1+k2

-2)2

≤

3

．
当且仅当k=0时，△ABC的最大面积为

3

．
（2）设圆心(a，

a2

4

)，则圆为(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(2-

a2

4

)2．
当y=0时，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由S△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA
=

1

2

×4×2=4，
∴

16

mn

=2sinθ，
∴

m

n

+

n

m

=2(sinθ +cosθ+
=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，
当θ=

π

4

时取得最大值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x2=4y上运动，MN为圆D在x轴上..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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