已知函数f（x）=x2-1（x≤0），数列{an}满足an=f-1（an-12）（n≥2）且a1=-1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的通项bn=1an+1+an，{bn}的前n项之和为Sn，试比较Sn和23an的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-1（x≤0），数列{an}满足an=f-1（an-12）（n≥2）且a1=-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-1（x≤0），数列{a_n}满足a_n=f^-1（a_n-1²）（n≥2）且a₁=-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的通项bn=

1

an+1+an

，{b_n}的前n项之和为S_n，试比较S_n和

2

3

an的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：反函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=x²-1（x≤0），
得f-1(x)=-

x+1

(x≥-1)，
又∵a_n=f^-1（a_n-1²）?an=-

a

2n-1

+1

(an≤-1，n≥2)?

a

2n

-

a

2n-1

=1，
所以{a_n²}是首项a₁²=1，公差为1的等差数列，
故a_n²=n，即an=-

n

．
（2）由（1）得bn=

1

an+1+an

=-

1

n+1

+

n

=-(

n+1

-

n

)，
所以Sn=-[(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)=1-

n+1

，
令Sn-

2

3

an=1-

n+1

+

2

3

n

＞0，
解得：n＜

144

25

＜6，
所以，当1≤n≤5时，Sn＞

2

3

an；
当n≥6时，Sn＜

2

3

an．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-1（x≤0），数列{an}满足an=f-1（an-12）（n≥2）且a1=-..”的主要目的是检查您对于考点“高中反函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中反函数”。

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