设A，B分别是直线y=255x和y=-255x上的两个动点，并且|AB|=20，动点P满足OP=OA+OB．记动点P的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，-数学试题及答案

1、试题题目：设A，B分别是直线y=255x和y=-255x上的两个动点，并且|AB|=20，动..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

设A，B分别是直线y=

2

5

x和y=-

2

5

x上的两个动点，并且|

AB

|=

20

，动点P满足

OP

=

OA

+

OB

．记动点P的轨迹为C．
（I）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

试题来源：淄博一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）设P（x，y），
为A、B分别为直线y=

2

5

x和y=-

2

5

x上的点，
故可设A(x1，

2

5

x1)，B(x2，-

2

5

x2)．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴

x=x1+x2

y=

2

5

(x1-x2)

，
∴

x1+x2=x

x1-x2=

5

2

y

，…（4分）
又|

AB

|=

20

，
∴(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20．…（5分）
∴

5

4

y2+

4

5

x2=20．　
即曲线C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．…（6分）
（ II）设N（s，t），M（x，y），
则由

DM

=λ

DN

，
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M、N在曲线C上，
∴

s2

25

+

t2

16

=1

λ2s2

25

+

(λt-16λ+16)2

16

=1.

…（10分）
消去s得

λ2(16-t2)

16

+

(λt-16λ+16)2

16

=1．
由题意知λ≠0，且λ≠1，
解得t=

17λ-15

2λ

．…（12分）
又|t|≤4，
∴|

17λ-15

2λ

|≤4．
解得

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．
故实数λ的取值范围是

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设A，B分别是直线y=255x和y=-255x上的两个动点，并且|AB|=20，动..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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