在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求动点Q的轨迹的方程；
（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN必过定点R（3，0）．

试题来源：韶关三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意知，直线l的方程为：x=-1，设直线l与x轴交于点K（-1，0），由OK平行于直线l可得，
OR是△FPK的中位线，故点R是线段FP的中点．
又RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∴|PQ|是点Q到直线l的距离．
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|．
故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），直线AB的方程为y=k（x-1）
则

yA2=4xA(1)

yB2=4xB(2)

（1）-（2）得yA+yB=

4

k

，即yM=

2

k

，
代入方程y=k（x-1），解得xM=

2

k2

+1．所以点M的坐标为(

2

k2

+1 ，

2

k

)．
同理可得：N的坐标为（2k²+1，-2k）．直线MN的斜率为kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k

1-k2

，
方程为；y+2k=

k

1-k2

(x-2k2-1)，整理得y（1-k²）=k（x-3），
显然，不论k为何值，（3，0）均满足方程，所以直线MN恒过定点R（3，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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