如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）．（1）若动点M满足AB?BM+2|AM|=0，求动点M的轨迹Q；（2）F1，F2是轨迹Q的左、-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

如图，已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）．
（1）若动点M满足

AB

?

BM

+

2

|

AM

|=0，求动点M的轨迹Q；
（2） F₁，F₂是轨迹Q的左、右焦点，过F1作直线l（不与x轴重合），l与轨迹Q相交于C，D，并与圆x²+y²=3相交于E，F．当

F2E

?

F2F

=λ，且λ∈[

2

3

，1]时，求△F₂CD的面积S的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由x²=4y得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x
∴直线l的斜率为y′|₂=1，
故l的方程为y=x-1，∴点A坐标为（1，0），
设M（x，y）则

AB

=（1，0），

BM

=（x-2，y），

AM

=（x-1，y），
由

AB

?

BM

+

2

|

AM

|=0得
（x-2）+y?0+

2

?

(x-1)2+y2

=0
整理，得

x2

2

+y2=1，
∴动点M的轨迹Q为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为2

2

，
短轴长为2的椭圆．

（2）设l方程为x=ty-1，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
由

x=ty-1

x2+y2=3

得（t²+1）y²-2ty-2=0

F2E

?

F2F

=(x1-1，y1)?(x2-1，y2)
=（ty₁-2）（ty₂-2）+y₁y₂
=（t²+1）y₁y₂-2t（y₁+y₂）+4
=

4

t2+1

-2，
由

F2E

?

F2F

∈[

2

3

，1]得t²∈[

1

3

，

1

2

]．
由

x=ty-1

x2

2

+y2=3

得（t²+2）y²-2ty-1=0设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
则S△F1CD=

1

2

|F1F2|y3-y4|=|y3-y4|=

8(t2+1)

(t2+2)2

，
设m=t²+1，则S=

8m

(m+1)2

=

8

m+

1

m

+2

，m∈[

4

3

，

3

2

]
S关于m在[

4

3

，

3

2

]上是减函数．所以S∈[

4

5

3

，

4

7

6

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：