已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且|AB|=455，动点P满足2OP=OA+OB（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆x-数学试题及答案

1、试题题目：已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且|AB|=455，动点P满足..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且|AB|=

4

5

，动点P满足2

OP

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆

x2

4

+y2=1交于M、N两点，求证：

OM

?

ON

为定值．

试题来源：晋中三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）（方法一）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．
∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P是线段AB的中点，∴

x=

x1+x2

2

y=

x1-x2

2

.

（2分）
∵|AB|=

4

5

，∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=

16

5

，∴(2y)2+(2x)2=

16

5

．
∴化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=

4

5

．（5分）
（方法二）∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P为线段AB的中点、（2分）
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又|AB|=

4

5

，∴|OP|=

2

5

，∴点P在以原点为圆心，

2

5

为半径的圆上、
∴点P的轨迹C的方程为x2+y2=

4

5

．（5分）
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
∵l与C相切，∴

|m|

1+k2

=

2

5

，∴m2=

4

5

(1+k2)．
联立

y=kx+m

x2+4y2=4

，∴

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0

(1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁?x₂=

4m2-4

1+4k2

，y1y2=

m2-4k2

1+4k2

．（8分）
∴

OM

?

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

5m2-4k2-4

1+4k2

．
又m2=

4

5

(1+k2)，∴

OM

?

ON

=0．（10分）
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±

2

5

，代入椭圆方程得
M（

2

5

，

2

5

），N（

2

5

，-

2

5

）或M（-

2

5

，

2

5

），N（-

2

5

，-

2

5

），
此时，

OM

?

ON

=

4

5

-

4

5

=0．
综上所述，

OM

?

ON

为定值0．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且|AB|=455，动点P满足..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：