已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-3，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，12)．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的-数学试题及答案

1、试题题目：已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，

1

2

)．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），
由

x=

x0+1

2

y=

y0+

1

2

得

x0=2x-1

y0=2y-

1

2

由，点P在椭圆上，得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，
∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．
（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，
因此△ABC的面积S_△ABC=1．
当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx，代入

x2

4

+y2=1，
解得B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
则|BC|=4

1+k2

1+4k2

，又点A到直线BC的距离d=

|k-

1

2

|

1+k2

，
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

|BC|?d=

|2k-1|

1+4k2

于是S_△ABC=

4k2-4k+1

4k2+1

=

1-

4k

4k2+1

由

4k

4k2+1

≥-1，得S_△ABC≤

2

，其中，当k=-

1

2

时，等号成立．
∴S_△ABC的最大值是

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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