已知f(x)=ax+bx+3-2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行．（1）求a与b满足的关系式；（2）若a＞0且f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=ax+bx+3-2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知f(x)=ax+

b

x

+3-2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行．
（1）求a与b满足的关系式；
（2）若a＞0且f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

试题来源：湖南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=a-

b

x2

，
由于f(x)=ax+

b

x

+3-2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行，
则有f′（1）=a-b=3，即b=a-3，
此时，f（1）=a+a-3+3-2a=0≠4，
（2）由f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，得
ax+

a-3

x

+3-2a-3lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=ax+

a-3

x

+3-2a-3lnx，x∈[1，+∞）
则g（l）=0，g′（x）=a-

a-3

x2

-

3

x

=

a(x-

3-a

a

)(x-1)

x2

．
（i）当a＞

3

2

，

3-a

a

≤l
则g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立．
（ii）a=

3

2

时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立．
（iii）当0＜a＜

3

2

，

3-a

a

＞l，
则x∈（1，

3-a

a

）时，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上是减函数，
x∈（

3-a

a

，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以存在x₀∈（1，

3-a

a

），使得g（x₀）＜g（l）=0，即存在x₀∈（1，

3-a

a

），使得f（x₀）＞3lnx₀不成立，
综上所述，所求a的取值范围为[

3

2

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=ax+bx+3-2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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