已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）及f（x）的导数f′（x）；
（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f^-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实
数m的取值范围．

试题来源：辽宁试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）、设y=ln（e^x+a），a＞0，则e^y=e^x+a，∴e^x=e^y-a，a＞0，∴x=ln（e^y-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数f^-1（x）=ln（e^x-a），x∈R；f′（x）=

ex

ex+a

．
（2）、由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．
设?（x）=ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x，ψ（x）=ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x，
于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于?（x）＜m＜ψ（x）．
由?′(x)=

ex

ex-a

-

ex

ex+a

+1，ψ′(x)=

ex

ex-a

+

ex

ex+a

-1，注意到0＜e^x-a＜e^x＜e^x+a，故有?'（x）＞0，ψ'（x）＞0，从而可?（x）与?（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增，因此不等式?（x）＜m＜ψ（x）成立当且仅当?（ln（4a））＜m＜ψ（ln（3a））．即ln(

12

5

a)＜m＜ln(

8

3

a).

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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