已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值，且函数y=f（x）的图象经过点（1，0）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设A、B为函数y=f（x）图象上任意相异的两个点，试判定直线AB和直-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值，且函数y=f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2处取得极值，且函数y=f（x）的图象经过点（1，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设A、B为函数y=f（x）图象上任意相异的两个点，试判定直线AB和直线4x+y-3=0的位置关系并说明理由；
（3）设函数g（x）=x²+mx+6，若对任意t∈[-2，2]且x∈[-2，2]，f（t）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2处取得极值
∴

f′(0)=0

f′(2)=0

即

b=0

3×4+4a+b=0

∴b=0，a=-3
又∵f（1）=0，∴1-3+c=0
故c=2，从而f（x）=x³-3x²+2
（2）直线AB和直线4x+y-3=0总相交．
∵f'（x）=3x²-6x=3（x-1）²-3≥-3，由导数的几何意义可知，直线AB的斜率k≥-3，
而直线4x+y-3=0的斜率为-4，
所以两条直线相交．
（3）∵f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f（x）在（-2，0]递增，在（0，2）递减，
∴f（x）在x=0处有最大值2，
所以命题转化为g（x）≥2对x∈[-2，2]恒成立，即x²+mx+4≥0对x∈[-2，2]恒成立，
设h（x）=x²+mx+4则有

-

m

2

＜-2

h(-2)=-2m+8≥0

或

-2≤-

m

2

≤2

h(-

m

2

)=4-

m2

4

≥0

或

-

m

2

＞2

h(2)=2m+8≥0

解得-4≤m≤4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值，且函数y=f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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