已知函数f(x)=alnx+1x．（1）当a＞0时，求该函数的单调区间和极值；（2）当a＞0时，若对?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=alnx+1x．（1）当a＞0时，求该函数的单调区间和极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=alnx+

1

x

．
（1）当a＞0时，求该函数的单调区间和极值；
（2）当a＞0时，若对?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令f/(x)=

a

x

-

1

x2

＞0?x＞

1

a

?函数f（x）的单调增区间是(

1

a

，+∞)；
令f/(x)=

a

x

-

1

x2

＜0?x＜

1

a

?函数f（x）的单调减区间是(0，

1

a

)，且当x=

1

a

时，函数有极小值且极小值为f(

1

a

)=a(1-lna)；
（2）当a＞0时，若对?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，即?x＞0，2a≤alnx+

1

x

成立，则必须?x＞0，2a≤f（x）_min．
而由（1）知，函数f（x）的极小值即为最小值，
于是：2a≤f（x）_min=a（1-lna），解之得：0＜a≤

1

e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=alnx+1x．（1）当a＞0时，求该函数的单调区间和极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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