已知函数：f(x)=x+1-aa-x(a∈R且x≠a)．（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；（2）当f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；（3）（理）设函数g（x）=-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数：f(x)=x+1-aa-x(a∈R且x≠a)．（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数：f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R且x≠a)．
（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）（理）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）设函数g（x）=x²+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f(x)+2+f(2a-x)=

x+1-a

a-x

+2+

2a-x+1-a

a-2a+x

=

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0
∴结论成立
（2）f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

当a+

1

2

≤x≤a+1时，-a-1≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
∴-3≤-1+

1

a-x

≤-2 即f（x）值域为[-3，-2]．
（3）（理）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①当x≥a-1且x≠a时，g(x)=x2+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a．
如果a-1≥-

1

2

即a≥

1

2

时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，∴g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²
如果a-1＜-

1

2

即当a＜

1

2

且a≠-

1

2

时，g(x)min=g(-

1

2

)=

3

4

-a．当a=-

1

2

时，g（x）最小值不存在．
②当x≤a-1时g(x)=x2-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

时g(x)min=g(

1

2

)=a-

5

4

．
如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

时，g(x)在(-∞，a-1)上为减函数g(x)min=g(a-1)=(a-1)2．
当a＞

3

2

时，(a-1)2-(a-

5

4

)=(a-

3

2

)2＞0.当a＜

1

2

时，(a-1)2-(

3

4

-a)=(a-

1

2

)2＞0．
综合得：当a＜

1

2

且a≠-

1

2

时，g（x）最小值是

3

4

-a；当

1

2

≤a≤

3

2

时，g（x）最小值是（a-1）²；当a＞

3

2

时，g（x）最小值为a-

5

4

；当a=-

1

2

时，g（x）最小值不存在．
（文）同②

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数：f(x)=x+1-aa-x(a∈R且x≠a)．（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：