已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3）且g（x）=f（x-1），则f（2007）+f（2008）=_____

1、试题题目：已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3）且g（x）=f（x-1），则f（2007）+f（2008）=______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（x）为R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）
∵g（x）为R上的奇函数，∴g（-x）=-g（x）
∵g（x）=f（x-1）
?g（-x）=f（-x-1）
?-g（x）=f（-x-1）
?g（x）=-f（-x-1）
∴f（x-1）=-f（-x-1）
令-x-1=t，则：x=-t-1
∴f（-t-2）=-f（t）…（1）
再令-t-2=u，则-u=t+2
而偶函数f（x）满足f（u）=f（-u）
即，f（-t-2）=f（t+2）…（2）
由（1）（2）得到：f（-t-2）=-f（t）=f（t+2）
∴f（t+2）=-f（t）…（3）
∴f[（t+2）+2]=-f（t+2）=-[-f（t）]=f（t）
即，f（t+4）=f（t）
∴偶函数f（x）也是以4为周期的周期函数
f（2007）=f（3+4×501）=f（3）
f（2008）=f（0+4×502）=f（0）
由（3）得到，f（3）=-f（1）
∴f（2007）+f（2008）=f（3）+f（0）=-f（1）+f（0）
而，g（x）=f（x-1）
令x=0，那么：g（0）=f（0-1）=f（-1）=f（1）
所以，-f（1）=0
令x=1，那么：g（1）=f（1-1）=f（0）
所以，f（2007）+f（2008）=-g（0）+g（1）
因为在R上的奇函数g（x）必定满足：g（-x）=-g（x）
即，g（x）+g（-x）=0
所以，g（0）+g（-0）=0
则，g（0）=0
已知g（x）过点（-1，3），即：g（-1）=3
所以：g（1）=-g（-1）=-3
综上：f（2007）+f（2008）=-3
故答案为-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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