已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立（1）求x0的值；（2）若f（x0）=1，且对任意正整数n，有an=1f(n)，bn-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀，使得对于任意实数x₁，x₂总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对任意正整数n，有an=

1

f(n)

，bn=f(

1

2n

)+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求S_n和T_n；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x₁=x₂=0，f（0）=f（x₀）+2f（0），f（x₀）=-f（0）
令x₁=1，x₂=0，f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），f（1）=-f（0），∴f（x₀）=f（1）
∵f（x）单调，∴x₀=1
（2）f（1）=1，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+f（1）=f（n）+2
∴f（n+1）-f（n）=2（n∈N^*），∴{f（n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴f（n）=2n-1（n∈N^*）
∴an=

1

2n-1

S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

]

=

n

2n+1

∵f(1)=f(

1

2

+

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)+f(1)

∴f(

1

2

)=0，b1=f(

1

2

)+1

∵f(

1

2^

)=f(

1

2n-1

+

1

2n-1

)=f(

1

2n-1

)+f(

1

2n-1

)+f(1)=2f(

1

2n+1

)+1
∴2bn+1=2f(

1

2n+1

)+2=f(

1

2n

)+1=bn
∴bn=(

1

2

)n-1Tn=(

1

2

)0(

1

2

)1+(

1

2

)1(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1(

1

2

)n=

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)2n-1=

1

2

[1-(

1

4

)n]

1-

1

4

=

2

3

[1-(

1

4

)n]
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2nF(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

＞0
∴n≥2，n∈N^*时，F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=

12

35

∴

12

35

＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]
即log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)＜2?

x+1＞0

9x2-1＞0

x+1

9x2-1

＞

1

4

解得-

5

9

＜x＜-

1

3

或

1

3

＜x＜1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：