已知函数f（x）=λ?2x-4x的定义域为[0，1]．（1）若函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数f（x）的最大值为12，求实数λ的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=λ?2x-4x的定义域为[0，1]．（1）若函数f（x）在[0，1]上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=λ?2^x-4^x的定义域为[0，1]．
（1）若函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数f（x）的最大值为

1

2

，求实数λ的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设2^x=t，
∵函数f（x）=λ?2^x-4^x=-（2^x）²+λ?2^x定义域为[0，1]，
∴2^x∈[1，2]，y=-t²+λt，t∈[1.2]，
∵函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，
∴y=-t²+λt在[1.2]是减函数，
∴t=

λ

2

≤1，解得λ≤2，
∴实数λ的取值范围是（-∞，2]．
（2）∵函数f（x）=λ?2^x-4^x的定义域为[0，1]，最大值为

1

2

，
由（1）知，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]，
∴对称轴方程为t=

λ

2

，
①当

λ

2

＜1时，y=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

在[1.2]是减函数，
∴当t=1时，y取最大值ymax=-(1-

λ

2

)2+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

3

2

．
②当1≤

λ

2

≤2时，当t=

λ

2

时，y取最大值y_max=-（

λ

2

-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=±

2

，（舍）
③当

λ

2

＞2时，当t=2时，y取最大值y_max=-（2-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

9

4

．
综上所述，实数λ的值为

3

2

，或

9

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=λ?2x-4x的定义域为[0，1]．（1）若函数f（x）在[0，1]上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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