已知函数f（x）=ax-1ax+1(a＞1)．（1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）证明f（x）是R上的增函数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-1ax+1(a＞1)．（1）判断函数的奇偶性；（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求该函数的值域；
（3）证明f（x）是R上的增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数的定义域为R，
f（-x）+f（x）=

a-x-1

a-x+1

+

ax-1

ax+1

=

(ax-1)(a-x+1)+(a-x-1)(ax+1)

(ax+1)(a-x+1)

=0
∴函数f（x）为奇函数
（2）∵f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

（a＞1）
设t=a^x，则t＞0，y=1-

2

t+1

的值域为（-1，1）
∴该函数的值域为（-1，1）
（3）证明：法一：∵f′（x）=

2axlna

(ax+1)2

＞0
∴f（x）是R上的增函数
法二：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂则f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂∴ax1-ax2＜0，ax1+1＞0，ax2+1＞0，
∴

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-1ax+1(a＞1)．（1）判断函数的奇偶性；（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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