已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{an}成..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-19 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{a_n}成等比数列的充要条件．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：当n=1时，a₁=S₁=p+q；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）?p^n-1．
由于p≠0，p≠1，
∴当n≥2时，{a_n}是等比数列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比数列，
则

a2

a1

=p，即（p-1）?p=p（p+q），
∴q=-1，即{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1．
再证充分性：
当p≠0且p≠1且q=-1时，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）?p^n-1，

an

an-1

=p（n≥2），
∴{a_n}是等比数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{an}成..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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