如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-31 07:30:00

试题原文

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q

（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围。

试题来源：湖南省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：相似三角形的性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如图）， ∵PQ⊥PD， ∴∠DPC=90°， ∴∠APD+∠BPC=90°，又∠ADP+∠APD=90°， ∴∠BPC=∠ADP，又∠B=∠A=90°， ∴△PBC∽△DAP， ∴， ∴， ∴AP=2或8， ∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2或8；
（2）如图，∵PQ∥AC， ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠BPQ=∠ADP， ∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°， ∴△ABC∽△DAP， ∴，即， ∴AP=， ∵PQ∥AC， ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠B=∠B， ∴△PBQ∽△ABC，，即， ∴；
（3）由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图）， ∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°， ∴△PBQ≌△DAP， ∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4， ∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为： S_{四边形PQCD}=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△QBP=DA×AB-×DA×AP-×PB×PQ =4m-×4×（m-4）-×4×（m-4） =16（4＜m≤8）。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一..”的主要目的是检查您对于考点“初中相似三角形的性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中相似三角形的性质”。

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