已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：x2+2xsinA1+sinA2=0x2+2xsinA2+sinA3=0x2+2xsinA3+sinA1=0均有实根，求这凸4n+2边形各内角-数学试题及答案

1、试题题目：已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-10-30 7:30:00

试题原文

已知，凸4n+2边形A₁A₂…A_4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：

x2+2xsinA1+sinA2=0

x2+2xsinA2+sinA3=0

x2+2xsinA3+sinA1=0

均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：一元二次方程根的判别式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取

1

2

，

3

2

，1，
若sinA₁=

1

2

，
∵sinA₂≥

1

2

，sinA₃≥

1

2

，
∴方程①的判别式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）≤4（

1

4

-

1

2

）＜0，
方程①无实根，与已知矛盾，
故sinA₁≠

1

2

，
同理sinA₂≠

1

2

，sinA₃≠

1

2

，
若sinA₁=

3

2

，则sinA₂≥

3

2

，sinA₃≥

3

2

，
∴方程①的判别式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）=4?（

3

4

-

3

2

）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，
∴sinA₁≠

3

2

，同理sinA₂≠

3

2

，sinA₃≠

3

2

，
综上，sinA₁=1，A₁=90°，
这样，其余4n-1个内角之和为4n×180°-3×90°=720°?n-270°，这些角均不大于150°，
∴720°?n-270°≤（4n-1）?150°，
故n≤1，又n为正整数，
∴n=1，即多边形为凸六边形，且A₄+A₅+A₆=4×180°-3×90°=450°，
∵A₄，A₅，A₆≤150°，
∴A₄=A₅=A₆=150°．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数..”的主要目的是检查您对于考点“初中一元二次方程根的判别式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中一元二次方程根的判别式”。

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