在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与抛物线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（I）设△AOB的重心为G（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
（1）∵OA⊥OB∴kOA●kOB=﹣1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
（2）又点A，B在抛物线上，有y₁=x₁²，y₂=x₂²，
代入（2）化简得x₁x₂=﹣1
∴Y==（x₁²+x₂²）=[（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂]=×（3x）²+=3x²+．
所以重心为G的轨迹方程为y═3x²+．
（II）S_△AOB=|OA||OB|==
由（I）得S_△AOB=≥=×2=1
当且仅当x₁²=x₂²即|x₁|=|x₂|=1时，等号成立．
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与抛物线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与抛物线的应用”。

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