已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，设无穷数列{an}满足an+1=f（an）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若a1=3，从第几项起，数列{an}中的项满足an＜an+1；（3）若1+1m＜a1＜mm-1（-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，设无穷数列{an}满足a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，设无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若a₁=3，从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1；
（3）若1+

1

m

＜a₁＜

m

m-1

（m为常数且m∈N，m≠1），求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=1得2a=1，∴a=

1

2

．
∴f（x）=

1

2-x

．
（2）若a₁=3，由a₂=

1

2-a1

=-1，a₃=

1

2-a2

=

1

3

，a₄=

1

2-a3

=

3

5

，
假设当n≥3时，0＜a_n＜1，则0＜a_n+1=

1

2-an

＜

1

2-1

=1?2-a_n＞0．
从而a_n+1-a_n=

1

2-an

-a_n=

(1-an)2

2-an

＞0?a_n+1＞a_n．
从第2项起，数列{a_n}满足a_n＜a_n+1．
（3）当1+

1

m

＜a₁＜

m

m-1

时，a₂=

1

2-a1

，得

m

m-1

＜a₂＜

m-1

m-2

．
同理，

m-1

m-2

＜a₃＜

m-2

m-3

．
假设

m-(n-1)+2

m-(n-1)+1

＜a_n-1＜

m-(n-1)+1

m-(n-1)

．
由a_n=

1

2-an-1

与归纳假设知

m-(n-2)

m-(n-1)

＜a_n＜

m-(n-1)

m-n

对n∈N^*都成立．
当n=m时，

m-(n-2)

m-(n-1)

＜a_m，即a_m＞2．
∴a_m+1=

1

2-am

＜0．
0＜a_m+2=

1

2-am+1

＜

1

2

＜1．
由（2）证明知若0＜a_n＜1，则0＜a_n+1=

1

2-an

＜

1

2-1

=1．
∴N=m+2，使得n≥N时总有0＜a_n＜1成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，设无穷数列{an}满足a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：