已知函数f（x）=2aex+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2aex+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e=2.7..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2ae^x+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l₁，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l₂，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为两函数在x₀处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．

试题来源：顺义区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），
又f′（x）=2ae^x，∴f′（0）=2a，
函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），
又g′（x）=

1

x

，g′（2a）=

1

2a

由题意可知，2a=

1

2a

，即a²=

1

4

又a＞0，所以a=

1

2

…（3分）
不等式x-m＞

x

f(x)-

x

可化为m＜x-

x

f（x）+

x

即m＜x-

x

ex，令h（x）=x-

x

ex，则h′（x）=1-（

1

2

x

+

x

）e^x，
∵x＞0，∴

1

2

x

+

x

≥

2

，
又x＞0时，e^x＞1，∴（

1

2

x

+

x

）e^x＞1，故h′（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）上是减函数
即h（x）在[1，5]上是减函数
因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，
只需m＜h（5）=5-

5

e5，
所以实数m的取值范围是（-∞，5-

5

e5）…（8分）
（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=

1

2

，
∴|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|
令q（x）=e^x-x-1，则q′（x）=e^x-1＞0，
∴q（x）在（0，+∞）上是增函数
故q（x）＞q（0）=0，即e^x-1＞x …①
令m（x）=lnx-x+1，则m′（x）=

1

x

-1，
当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②
由①②得e^x-1＞lnx+1，即e^x-lnx＞2
又由①得e^x＞x+1＞x
由②得lnx＜x-1＜x，∴e^x＞lnx
∴|f（x）-g（x）|=e^x-lnx＞2
故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2aex+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e=2.7..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：