已知函数f（x）=6lnx+x2-8x，g(x)=px+x2(p∈R)．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=6lnx+x2-8x，g(x)=px+x2(p∈R)．（1）求函数f（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=6lnx+x²-8x，g(x)=

p

x

+x2

(p∈R)

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′(x)=

6

x

+2x-8=

2x2-8x+6

x

=

2(x-3)(x-1)

x

（3分）
∴x∈（1，3）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[1，3]单调递减，
x∈（0，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]和[3，+∞）单调递增（5分）
（2）令h(x)=f(x)-g(x)=6lnx-8x-

p

x

（6分）
∴h′(x)=

6

x

-8+

p

x2

=

-8x2+6x+p

x2

（7分）
令-8x²+6x+p=0知△=36+32p，
（i）当36+32p≤0即p≤-

9

8

时，
△≤0，此时h'（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8（9分）
（ii）当P＞-

9

8

时，
方程（1）有两根x1=

3+

9+8p

8

，x2=

3-

9+8p

8

＜1．（10分）
①若

3+

9+8p

8

≥e，即p≥8e²-6e时，
当x∈[1，e]，h'（x）≥0，此时h（x）在[1，e]上单调递增．
∴h(x)max=h(e)=6-8e-

p

e

＞0，得p＜6e-8e²，此时无解．（11分）
②若

3+

9+8p

8

≤1，
即-

9

8

＜p≤2时，
当x∈[1，e]，h'（n）＜0，
∴h（x）在[1，e]单调递减．
∴h（x）_max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8此时无解．（12分）
③当2＜p＜8e²-6e时，1＜

3+

9+8p

8

＜e，
∴x∈[1，

3+

9+8p

8

]，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
x∈[

3+

9+8p

8

，e]，h′(x)＜0h（x）单调递减，
∴x=

3+

9+8p

8

时，h(x)max=h(

3+

9+8p

8

)=6ln

3+

9+8p

8

-8?

3+

9+8p

8

-

p

3+

9+8p

8

＜6lne-8=-2，此时无解（13分）
综上知p＜-8时存在x₀使f（x₀）＞g（x₀）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=6lnx+x2-8x，g(x)=px+x2(p∈R)．（1）求函数f（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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