已知函数f(x)=13ax3+x2+2x+1（a≤0）．（I）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（II）若函数f（x）在（-2，-1）上单调递减，且在（0，1）上单调增，求实数a的取值范围；（III）当a=-1时，若-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13ax3+x2+2x+1（a≤0）．（I）求函数f（x）在（0，f（0））处的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

ax3+x2+2x+1（a≤0）．
（I）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（II）若函数f（x）在（-2，-1）上单调递减，且在（0，1）上单调增，求实数a的取值范围；
（III）当a=-1时，若?x₀∈（t，0]，函数f（x）的切线中总存在一条切线与函数f（x）在x₀处的切线垂直，求t的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=ax²+2x+2，f′（0）=2，f（0）=1
∴函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=2x+1；
（II）当a=0时，f（x）=x²+2x+1，满足题意；
当a＜0时，f′（x）=ax²+2x+2，则由于函数f（x）在（-2，-1）上单调递减，且在（0，1）上单调增，
所以在（-2，-1）上导函数f′（x）≤0及在（0，1）上f′（x）≥0恒成立，
即满足

f′(-2)＜0

f′(-1)≤0

①和

f′(0)＞0

f′(1)≥0

②都成立．由①得

a(-2)2+2×(-2)+2＜0

a(-1)2+2×(-1)+2≤0

解得a≤0，
由②得a≥-4，∴-4≤a＜0；
综上，a的取值范围是-4≤a＜0．
（III）∵当a=-1时f（x）=-

1

3

x3+x2+2x+1，∴f′（x）=-x²+2x+2=-（x-1）^2₊₃，即函数f（x）所有切线的斜率都f′（x）≤3，
如果不存在这样的切线与函数f（x）在x₀处的切线垂直即是-

1

f‘(x0)

＞3，即

-1

-x02+2x0+2

＞3，
解得1+

3

＜x0 ＜1+

10

3

或1-

10

3

＜x0＜1-

3

，即存在这样的切线符合条件，则x₀的范围是
x0≤1-

10

3

或1-

3

≤x0≤1+

3

或x0≥1+

10

3

，
又知x₀≤0，∴x0≤1-

10

3

或1-

3

≤x0≤0，又∵?x₀∈（t，0]，∴（t，0]?(-∞，1-

10

3

]∪[1-

3

，0]
∴1-

3

≤t，故t的最小值为1-

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13ax3+x2+2x+1（a≤0）．（I）求函数f（x）在（0，f（0））处的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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