已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x(a＞0)．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：不等式1lnx-12＜1x-1对一切x＞1恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x(a＞0)．（1）求f（x）的最小值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(a＞0)．
（1）求f（x）的最小值；
（2）证明：不等式

1

lnx

-

1

2

＜

1

x-1

对一切x＞1恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(a＞0)，∴f′(x)=

x-a

x2

∴f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增
∴f（x）的最小值为f（a）=lna+1-a；
（2）证明：只需证明

1

lnx

＜

1

x-1

+

1

2

，即证lnx＞

2(x-1)

x+1

令g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，则g′（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0
∵x＞1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）=0，∴lnx＞

2(x-1)

x+1

故原不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x(a＞0)．（1）求f（x）的最小值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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