设函数f(x)=a?b，其中向量a=(3，-1)，b=(sinx，cosx)，x∈R（1）求使f（x）取得最大值时，向量a和b的夹角；（2）若A={x|f（x）≥1}，B={x|-π≤x≤π}，求A∩B；（3）若x∈{A，B，C}，且A，B，-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=a?b，其中向量a=(3，-1)，b=(sinx，cosx)，x∈R（1）求使..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-21 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

a

?

b

，其中向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)，x∈R
（1）求使f（x）取得最大值时，向量

a

和

b

的夹角；
（2）若A={x|f（x）≥1}，B={x|-π≤x≤π}，求A∩B；
（3）若x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，求证；存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)
∴f（x）=

a

?

b

=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)
（1）当sin(x-

π

6

) =1
即x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

2π

3

(k∈Z)时，f（x）取得最大值
此时

b

=(

3

2

，-

1

2

)
∴cos＜

a

，

b

＞ =

a

?

b

|

a

| |

b

|

=

3

2

+

1

2

2×1

=1
∴＜

a

，

b

＞ =0
（2）由f（x）≥1，得sin(x-

π

6

) ≥

1

2

∴2kπ+

π

6

≤x-

π

6

≤ 2kπ+

5π

6

(k∈Z)
∴2kπ+

π

3

≤x≤ 2kπ+π (k∈Z)
∴A={x|2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+π，k∈Z}
又B={x|-π≤x≤π}
∴A∩B=[

π

3

，π]
证明：（3）∵x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，且A+B+C=π
设A、B、C中的最小角x₀∈{A，B，C}
∴0＜x0＜

π

3

∴-

π

6

＜x0-

π

6

≤

π

6

∴f(x0) =2sin(x0-

π

6

) ≤2×

1

2

=1
∴存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=a?b，其中向量a=(3，-1)，b=(sinx，cosx)，x∈R（1）求使..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：