已知{an}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．（I）求数列{an}的通项公式；（II）是否存在等差数列{bn}，使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2对-数学试题及答案

1、试题题目：已知{an}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}?{-10，-6，-2，0，1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为{a_n}是递增的等比数列，所以数列{a_n}公比q＞0，首项a₁＞0，
又{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，
所以a₁=1，a₃=4，a_s=16（3分）
从而q2=

a3

a1

=4，q=2，a_n=a₁q^n-1=2^n-1
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1（6分）
（II）假设存在满足条件的等整数列{b_n}，其公差为d，则当n=1时，a₁b₁=1，
又∵a₁=1，∴b₁=1；
当n=2时，a₁b₂+a₂b₁=4，b₂+2b₁=4，b₂=2
则d=b₂-b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n（8分）
以下证明当b_n=n时，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立．
设S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁，
即S_n=1×n+2×（n-1）+2²×（n-2）+2³×（n-3）+…+2^n-2×2+2^n-1×1，（1）
2S_n=2×n+2²×（n-1）+2³×（n-2）+…+2^n-1×2+2ⁿ×1，（2）
（2）-（1）得S_n=-n+2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ=-n+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2，
所以存在等差数列{b_n}，b_n=n使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知{an}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}?{-10，-6，-2，0，1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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