已知数列{an}满足a1=3，2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，记bn=an-2an+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式．（Ⅱ）若（4n-1）an≥t?2n+1-17对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）记cn=3an+1，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=3，2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，记bn=an-2an+1．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a1=3，

2-2an+1

an+1-3

=an(n∈N*)，记bn=

an-2

an+1

．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t?2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn=

3

an+1

，求证：c1?c2?c3…cn＞

7

12

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵

2-2an+1

an+1-3

=an(n∈N*)，∴bn=

an-2

an+1

=

4(an+1-2)

an+1+1

=4bn+1，
∴

bn+1

bn

=

1

4

∵a1=3，b1=

1

4

∴数列{b_n}是以

1

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列
∴bn=

1

4n

；
（Ⅱ）∵bn=

an-2

an+1

，∴an=

2?4n+1

4n-1

∵（4ⁿ-1）a_n≥t?2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，
∴t≤

4n+9

2n

=2n+

9

2n

对任意n∈N^*恒成立
∵y=m+

9

m

(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增
∴(2n+

9

2n

)min=min{2+

9

2

，4+

9

4

}=

25

4

∴t≤

25

4

∴实数t的取值范围是(-∞，

25

4

]；
（Ⅲ）∵cn=

3

an+1

=1-

1

4n

，
猜想(1-

1

4

)(1-

1

42

) … (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)
用数学归纳法证明：
①n=1时，左边=

3

4

=右边；n=2时，左边=

45

64

，右边=

11

16

，左边＞右边；
②假设n=k（k≥2）时结论成立，即(1-

1

4

)(1-

1

42

) … (1-

1

4k

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k

)
则n=k+1时，左边=(1-

1

4

)(1-

1

42

) … (1-

1

4k

)(1-

1

4k+1

)≥[1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k

)](1-

1

4k+1

)
＞1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k+1

)=右边
由①②知，猜想(1-

1

4

)(1-

1

42

) … (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)成立
又

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

＜

1

4

1-

1

4

=

1

3

∴c1?c2?c3…cn=(1-

1

4

)(1-

1

42

) … (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)＞1-

1

3

＞

7

12

∴c1?c2?c3…cn＞

7

12

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=3，2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，记bn=an-2an+1．..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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