在数列{an}中，a1=3，a2=3，且数列{an+1+an}是公比为2的等比数列，数列{an+1-an}是公比为-1的等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：当k为正奇数时，1ak+1ak+1＜32k+1（3-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=3，a2=3，且数列{an+1+an}是公比为2的等比数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，且数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，数列{a_n+1-a_n}是公比为-1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当k为正奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

（3）求证：当n∈N+时，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

＜1．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，
∵数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，
∴a_n+1+a_n=（a₂+a₁）?2^n-1=3?2ⁿ，①
∵数列{a_n+1-2a_n}是公比为-1的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，②
①-②得3a_n=3?2ⁿ+3?（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ+（-1）^n-1…（5分）
（2）证明：当k为正奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

=

1

2k+1

+

1

2k+1-1

=

3?2k

22k+1+2k-1

＜

3

2k+1

，
∴当k为正奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

…（8分）
（3）证明：当n∈N^*时，
∵

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

=(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2n-1

+

1

a2n

)
＜

3

2 2

+

3

2 4

+…+

3

2 2n

=3×

1

4

(1-

1

4n

)

1-

1

4

=1-

1

4n

＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=3，a2=3，且数列{an+1+an}是公比为2的等比数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：