已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n2，f（-1）=n；（1）求数列{an}的通项an；（2）求f（12）的值；（3）比较f（12）的值与3的大小，-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n²，f（-1）=n；
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求f（

1

2

）的值；
（3）比较f（

1

2

）的值与3的大小，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设数列的公差为d，
因为f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，则na₁+

n(n-1)

2

d=n²，即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即

n

2

×d=n，d=2．
解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（

1

2

）=（

1

2

）+3（

1

2

）²+5（

1

2

）³+…+（2n-1）（

1

2

）ⁿ，①
两边都乘以

1

2

，可得

1

2

f（

1

2

）=（

1

2

）²+3（

1

2

）³+5（

1

2

）⁴+…+（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
①-②，得

1

2

f（

1

2

）=

1

2

+2（

1

2

）²+2（

1

2

）³+…+2（

1

2

）ⁿ-（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
即

1

2

f（

1

2

）=

1

2

+

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹．
∴f（

1

2

）=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-（2n-1）

1

2n

=1+

1-

1

2n-1

1-

1

2

-（2n-1）

1

2n

=1+2-

1

2n-2

-（2n-1）

1

2n

=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ；
则f（

1

2

）=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ；
（3）由（2）的结论，f（

1

2

）=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ，
又由（2n+3）（

1

2

）ⁿ＞0，
易得3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ＜3，
则f（

1

2

）＜3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：