在数列{an}中，其前n项和Sn与an满足关系式：（t-1）Sn+（2t+1）an=t（t＞0，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t），已知数列{bn}，b1=1，bn+1=3f(-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，其前n项和Sn与an满足关系式：（t-1）Sn+（2t+1）an=t（t..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，其前n项和S_n与a_n满足关系式：（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t（t＞0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），已知数列{b_n}，b1=1，bn+1=3f(

1

bn

) (n=1，2，3，…)，求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1的值．

试题来源：浙江模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）当n=1时，（t-1）S₁+（2t+1）a₁=t，∴a₁=

1

3

当n≥2时，（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t，（t-1）S_n-1+（2t+1）a_n-1=t
∴（t-1）a_n+（2t+1）a_n-（2t+1）a_n-1=0
∴3ta_n=（2t+1）a_n-1，t＞0
∴

an

an-1

=

2t+1

3t

，a1=

1

3

∴数列{a_n}是以

2t+1

3t

为公比，

1

3

为首项的等比数列；
（II）由（Ⅰ）可知，f(t)=

2t+1

3t

(t＞0)，bn+1=3f(

1

bn

)，则b_n+1=b_n+2
所以，数列{b_n}是以2为公差，首项为1的等差数列
即b_n=2n-1
①当n为奇数时，
b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1
=b₁b₂+b₃（b₄-b₂）+b₅（b₆-b₄）+…+b_n（b_n+1-b_n-1）
=3+4（b₃+b₅+…+b_n）
=2n²+2n-1
②当n为偶数时，
b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-4（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2n²+2n）
所以，原式=

2n2+2n-1 n为奇数

-(2n2+2n) n为偶数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，其前n项和Sn与an满足关系式：（t-1）Sn+（2t+1）an=t（t..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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