过点P(102，0)作倾斜角为α的直线l与曲线x2+12y2=1交于点M，N．求|PM|?|PN|的最小值及相应的α的值．-数学试题及答案

1、试题题目：过点P(102，0)作倾斜角为α的直线l与曲线x2+12y2=1交于点M，N．求|..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

过点P(

10

2

，0)作倾斜角为α的直线l与曲线x²+12y²=1交于点M，N．求|PM|?|PN|的最小值及相应的α的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

xz 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）直线方程y=k（x-

10

2

），
则k=tana，向量

PM

=（x1-

10

2

，y1），

PN

=(x2-

10

2

，y2)
联立椭圆方程得，(12k2+1) x2-12

10

k2 x+30k2 =1
韦达定理得x1+x2=

12

10

k2

12k2+1

，x1x2=

30k2-1

12k2+1

，），y1y2= k2(x1-

10

2

)(x2-

10

2

)
则|PM||PN|=

PM

?

PN

=（x1-

10

2

，y1）?（x2-

10

2

，y2）
=(x1-

10

2

)(x2-

10

2

)+y1y2
=x1x2-

10

2

(x1+x2)+

5

2

+y1y2
=(1+k2)[x1x2-

10

2

(x1+x2)+

5

2

]
=（k²+1）（

30k2-1

12k2+1

-

10

2

12

10

k2

12k2+1

+

5

2

）
=

3+3k2

24k2+2

=

1

8

(1+

11

12k2+1

)
当直线与椭圆相切时，|PM||PN|的值最小，
此时△=0，即k2=

1

18

，|PM||PN|的最小值为

19

20

于是此时a=arctan

2

6

或π-arctan

2

6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过点P(102，0)作倾斜角为α的直线l与曲线x2+12y2=1交于点M，N．求|..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：