是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f（a）?f（b），a，b∈N；③f（2）=4．同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f（a）?f（b），a，b∈N；③f（2）=4．同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（x）＞0，x∈N且f（a+b）=f（a）?f（b），a，b∈N
∴可设f（x）=c^x（c＞0，c≠1，x∈N），满足c^x＞0且c^a+b=c^a?c^b
∵f（2）=4
∴c²=4?c=2（舍负）
所以存在f（x）=2^x，符合题设的三个条件．
以下用数学归纳法证明，对任意的x∈N时，都有f（x）=2^x成立．
（1）当x=1时，f（2）=f（1+1）=f（1）?f（1）=[f（1）]²=4，
又∵x∈N时，f（x）＞0，
∴f（1）=2=2¹，结论正确．
（2）假设x=k（k∈N^*）时，有f（k）=2^k，
则x=k+1时，f（k+1）=f（k）?f（1）=2^k?2=2^k+1，
∴x=k+1时，结论正确．
综上所述，对于一切自然数x，都有f（x）=2^x成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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