由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx=2cos3x-cosx-2（1-数学试题及答案

1、试题题目：由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-18 07:30:00

试题原文

由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin³x；
（II）请求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos³x-3cosx，求出sin18°的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：已知三角函数值求角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：∵sin3x=-cos(

3π

2

-3x)=-cos[3(

π

2

-x)]=-[4cos3(

π

2

-x)-3cos(

π

2

-x)]
=-（4sin³x-3sinx）=3sinx-4sin³x，故等式成立．
（II）cos4x=cos（2?2x）=2cos²2x-1=2（2cos²x-1）²-1=2（4cos⁴x-4cos²x+1）-1
=8cos⁴x-8cos²x+1．
（III）∵sin36°=cos54°，∴2sin18°cos18°=4cos³18°-3cos18°，
∴4sin²18°+2sin18°-1=0，∴sin18°=

5

-1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式..”的主要目的是检查您对于考点“高中已知三角函数值求角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中已知三角函数值求角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：