已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2-（47tanθ）x+1，（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．（2）当f（x）=sin（2x+π6）+3sin（2x+π3）时，g（x）在A上是单调递增函数，求θ的取值范围．（-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2-（47tanθ）x+1，（1）当f（x）=sin..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-17 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1，
（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．
（2）当f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）时，g（x）在A上是单调递增函数，求θ的取值范围．
（3）当f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_nsin（ωx+φ_n）时，（其中a_i∈R，i=1，2，3…n，ω＞0），若f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0，且函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，在x=π处取得最小值，试探讨ω应该满足的条件．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：已知三角函数值求角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，所以，sin（x+φ）=sin（-x+φ），
化简为 2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+

π

2

，k∈z．
（2）∵函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）=

3

sin2x+2cos2x=

7

sin（2x+α）∈[-

7

，

7

]，
其中，sinα=

2

7

，cosα=

3

7

，所以 A=[-

7

，

7

]…（8分）
g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1=(x-2

7

tanθ)2+1-28tan²θ，
由题意可知：2

7

tanθ≤-

7

，tanθ≤-

1

2

，∴kπ-

π

2

≤θ≤kπ-arctan

1

2

，k∈z，
即θ的取值范围是[kπ-

π

2

，kπ-arctan

1

2

]，k∈z．（10）
（3）由于 f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_nsin（ωx+φ_n）
=a₁ （sinωxcosφ₁+cosωxsinφ₁）+a₂ （sinωxcosφ₂+cosωxsinφ₂）+…+a_n （sinωxcosφ_n+cosωxsinφ_n ）
=sinωx （a₁?cosφ₁+a₂?cosφ₂+…+a_n?cosφ_n）
+cosωx（a₁?sinφ₁+a₂?sinφ₂+…+a_n?sinφ_n）．
∵f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0，∴a₁?cosφ₁+a₂?cosφ₂+…+a_n?cosφ_n=0
与a₁?sinφ₁+a₂?sinφ₂+…+a_n?sinφ_n=0 不能同时成立．
不妨设 a₁?cosφ₁+a₂?cosφ₂+…+a_n?cosφ_n=m，a₁?sinφ₁+a₂?sinφ₂+…+a_n?sinφ_n=n，
则f（x）=msinωx+ncosωx=

m2+n2

=sin（ωx+φ），且 m²+n²≠0．
由于函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，在x=π处取得最小值，∴（4n-3）

T

4

=π-

π

2

，n∈N^*．
（4n-3）

π

2ω

=

π

2

，∴ω=4n-3，n∈N^* ①．
再由函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称可得 sin（

π

2

ω+φ₀）=0，故

π

2

ω+φ₀=kπ，k∈z．
∴

π

2

（4m-3）+φ₀=kπ，φ₀=kπ+

3π

2

，k∈z．
又函数f（x）在x=π处取得最小值，∴sin（ωπ+φ₀）=-1，∴ωπ+kπ+

3π

2

=2k′π+

3π

2

，k′∈z．
∴ω=k，k∈N^* ②．
由①②可得，ω=4n-3，n∈N^*．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2-（47tanθ）x+1，（1）当f（x）=sin..”的主要目的是检查您对于考点“高中已知三角函数值求角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中已知三角函数值求角”。

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