设向量a=(sinx，1)，b=(1，cosx)，记f(x)=a?b，f′（x）是f（x）的导函数．（I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值和最小正周期；（II）若f（x）=2f′（x），求1+2sin2xcos2x-sinxcosx的值-数学试题及答案

1、试题题目：设向量a=(sinx，1)，b=(1，cosx)，记f(x)=a?b，f′（x）是f（x）的导函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-17 07:30:00

试题原文

设向量

a

=(sinx，1)，

b

=(1，cosx)，记f(x)=

a

?

b

，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

试题来源：广东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=sinx+cosx
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+

2

sin(2x+

π

4

)
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

?x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，
F(x)max=1+

2

最小正周期为T=

2π

2

=π
（2）∵f（x）=2f′（x）?sinx+cosx=2cosx-2sinx
∴cosx=3sinx?tanx=

1

3

∴

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

3sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

3tan2x+1

1-tanx

=

2

3

=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设向量a=(sinx，1)，b=(1，cosx)，记f(x)=a?b，f′（x）是f（x）的导函..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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