已知函数f(x)=logmx-3x+3，x∈[α，β]，（其中a＞0）．（1）证明：a＞3；（2）问是否存在实数m，使得自变量x在定义域[α，β]上取值时，该函数的值域恰好为[logm（mβ-m），logm（mα-m）]，若存-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=logmx-3x+3，x∈[α，β]，（其中a＞0）．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=logm

x-3

x+3

，x∈[α，β]，（其中a＞0）．
（1）证明：a＞3；
（2）问是否存在实数m，使得自变量x在定义域[α，β]上取值时，该函数的值域恰好为[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）

x-3

x+3

＞0?x＜-3，或x＞3，
∵f（x）定义域为[α，β]且α＞0，
∴α＞3． …（2分）
（2）∵3＜α＜β，m＞0，
∴m（α-1）＜m（β-1），而log_a m（α-1）＜log_am（β-1），
∴0＜m＜1，…（4分）
设β≥x₁＞x₂≥α，有

x1-3

x1+3

-

x2-3

x2+3

=

6(x1-x2)

(x1+3)(x2+3)

＞0，
∴当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]上单调递减． …（7分）
又f（x）在[α，β]上的值域为[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，
∴

f(β)=logm

β-3

β+3

=logm(mβ-m)

f(α)=logm

α-3

α+3

=logm(mα-m)

即

mβ2+(2m-1)β-3(m-1)=0

mα2+(2m-1)α-3(m-1)=0

又β＞α＞3，…（10分）
即α，β是方程mx²+（2m-1）x-3（m-1）=0大于3的两个不相等的实数根，…（11分）
∴

0＜m＜1

△=16m2-16m+1＞0

-

2m-1

2m

＞3

mf(3)＞0

解之得0＜m＜

2-

3

4

，…（15分）
因此，当0＜m＜

2-

3

4

时，满足题意条件的m存在． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=logmx-3x+3，x∈[α，β]，（其中a＞0）．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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