已知a＞0，且a≠1，f(logax)=aa2-1(x-1x)．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的集合M．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，且a≠1，f(logax)=aa2-1(x-1x)．（1）求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知a＞0，且a≠1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的集合M．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令t=log_ax（t∈R），
则x=a^t，f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)．
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R）．
（2）∵f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f(x)，且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
当a＞1时，指数函数y=a^x是增函数，y=(

1

a

)x=a-x是减函数，y=-a^-x是增函数．
∴y=a^x-a^-x为增函数，
又因为

a

a2-1

＞0，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（x∈R）是增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=a^x是减函数，
y=(

1

a

)x=a-x是增函数，y=-a^-x是减函数．
∴u（x）=a^x-a^-x为减函数．
又因为

a

a2-1

＜0，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（x∈R）是增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．
（3）由（2）可知y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数．
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²），
又y=f（x），（x∈R）是奇函数，
∴f（1-m）＜f（m²-1），，
因为函数y=f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
解之得：1＜m＜

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，且a≠1，f(logax)=aa2-1(x-1x)．（1）求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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