（理）已知函数f（x）=2x-1的反函数为f-1（x），g（x）=log4（3x+1）（1）用定义证明f-1（x）在定义域上的单调性；（2）若f-1（x）≤g（x），求x的取值集合D；（3）设函数H（x）=g（x）-12f-1（x），当x∈D-数学试题及答案

1、试题题目：（理）已知函数f（x）=2x-1的反函数为f-1（x），g（x）=log4（3x+1）（1）用定..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

（理）已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值集合D；
（3）设函数H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x），当x∈D时，求函数H（x）的值域．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），由y=2^x-1，得 x=log₂（y+1），
所以f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1），任取-1＜x₁＜x₂，
f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=log₂（x₁+1）-log₂（x₂+1）=log₂

x1+1

x2+1

，
由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此0＜

x1+1

x2+1

＜1，得 log₂

x1+1

x2+1

＜0，
所以f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），故f^-1（x）在（-1，+∞）上为单调增函数．
（2）f^-1（x）≤g（x）即：log₂（x+1）≤log₄（3x+1）?

x+1＞0

3x+1＞0

(x+1)2≤3x+1

?

x+1＞0

(x+1)2≤3x+1

，
解之得0≤x≤1，所以D=[0，1]．
（3）H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x）=log₄（3x+1）-

1

2

log₂（x+1）=

1

2

log2

3x+1

x+1

=

1

2

log2(3-

2

x+1

)，
由0≤x≤1，得1≤3-

2

x+1

≤2，所以0≤log₂（3-

2

x+1

）≤

1

2

，因此函数H（x）的值域为[0，

1

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）已知函数f（x）=2x-1的反函数为f-1（x），g（x）=log4（3x+1）（1）用定..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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