设函数f（x）=loga（x-3a），g（x）=loga1x-a，（a＞0且a≠1）．（1）若a=125，当x∈[125+2，125+3]时，求证：|f（x）-g（x）|＜1；（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=loga（x-3a），g（x）=loga1x-a，（a＞0且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=log_a（x-3a），g（x）=log_a

1

x-a

，（a＞0且a≠1）．
（1）若a=

1

25

，当x∈[

1

25

+2，

1

25

+3]时，求证：|f（x）-g（x）|＜1；
（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f（x）-g（x）=log_a（x-3a）（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²）
令h（x）=x²-4ax+3a²，则当0＜a＜1时，h（x）的对称轴x=2a＜a+2
故h（x）在[a+2，a+3]上单调递增，
∴h（x）_min=h（a+2）=4-4a，h（x）_max=h（a+3）=9-6a（6分）
（1）若a=

1

25

，则

96

25

≤h(x)≤

219

25

，
∴-1＜log

1

25

219

25

≤log

1

25

h(x)≤log

1

25

96

25

＜0，
∴|f（x）-g（x）|＜1（9分）

（2）由题意，x-3a＞0在[a+2，a+3]上恒成立，则a+2-3a＞0?a＜1
又a＞0且a≠1∴0＜a＜1（12分）

loga(4-4a)≤1?a≤

4

5

loga(9-6a)≥-1?a≤

9-

57

12

或a≥

9+

57

12

（16分）
故0＜a≤

9-

57

12

（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=loga（x-3a），g（x）=loga1x-a，（a＞0且..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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