在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0，43)，B(-1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D）-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0，43)，B(-1，0)，C(1，0)，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0，

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3

)，B(-1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y=

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(x+1)，y=-

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(x-1)，y=0．点P（x，y）到AB、AC、BC的距离依次为d1=

1

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|4x-3y+4|，d2=

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|4x+3y-4|，d3=|y|．依设，d₁d₂=d₃²，得|16x²-（3y-4）²|=25y²，即16x²-（3y-4）²+25y²=0，或16x²-（3y-4）²-25y²=0，化简得点P的轨迹方程为
圆S：2x²+2y²+3y-2=0与双曲线T：8x²-17y²+12y-8=0
（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分
圆S：2x²+2y²+3y-2=0①
与双曲线T：8x²-17y²+12y-8=0②△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d₁=d₂=d₃，解得D(0，

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)，且知它在圆S上．直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为y=kx+

1

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③
（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y=

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平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点．
（ii）当k≠0时，L与圆S有两个不同的交点．这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k=±

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，直线L的方程为x=±（2y-1）．代入方程②得y（3y-4）=0，解得E(

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，

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3

)或F(-

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，

4

3

)．表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F．
故当k=±

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时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点．（11分）
情况2：直线L不经过点B和C（即k≠±

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），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点．即方程组

8x2-17y2+12y-8=0

y=kx+

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有且只有一组实数解，消去y并化简得(8-17k2)x2-5kx-

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=0
该方程有唯一实数解的充要条件是8-17k²=0④
或(-5k)2+4(8-17k2)

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=0⑤
解方程④得k=±

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34

17

，解方程⑤得k=±

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．
综合得直线L的斜率k的取值范围{0，±

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，±

2

34

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，±

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}．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0，43)，B(-1，0)，C(1，0)，..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：