已知函数f（x）=ax2+x+aex．（Ⅰ）函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，求a的值；（Ⅱ）当x∈[0，2]时，f（x）≥1e2恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+x+aex．（Ⅰ）函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

ax2+x+a

ex

．
（Ⅰ）函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，f（x）≥

1

e2

恒成立，求a的取值范围．

试题来源：门头沟区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得f′（x）=

(2ax+1)ex-(ax2+x+a)ex

(ex)2

=

-ax2+(2a-1)x+1-a

ex

…（2分）
故可得f′（0）=1-a，因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，
而直线的斜率为-2，所以1-a=-2，解得a=3 …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

-ax2+(2a-1)x+1-a

ex

=

-(ax+1-a)(x-1)

ex

，令f′（x）=0，
当a=0时，x=1，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，f（0）=0，f（2）=

2

e2

，
故函数f（x）的最小值为0，结论不成立．…（6分）
当a≠0时，x₁=1，x₂=1-

1

a

…（7分）
若a＜0，f（0）=a＜0，结论不成立 …（9分）
若0＜a≤1，则≤0，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
只需

f(0)≥

1

e2

f(2)≥

1

e2

，解得

a≥

1

e2

a≥-

1

5

，所以

1

e2

≤a≤1 …（11分）
若a＞1，则0＜1-

1

a

＜1，函数在x=1-

1

a

处有极小值，只需

f(1-

1

a

)≥

1

e2

f(2)≥

1

e2

解得

2a-1≥e-1-

1

a

a≥-

1

5

，因为2a-1＞1，e-1-

1

a

＜1，所以a＞1 …13
综上所述，a≥

1

e2

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+x+aex．（Ⅰ）函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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