已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，求f（x）的值域；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的a∈[12，2]，不等式f（x）≤10在[14，1]上恒成立，求b的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，x∈[

1

2

，2]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为f（x）=x+

1

x

+1
根据特殊函数y=+x

1

x

的单调性得：函数在[

1

2

，1]上递减，在[1，2]上递增；
而 f（1）=3，f（

1

2

）=f（2）=

7

2

所以：f（x）∈[3，

7

2

]，
（Ⅱ）f′(x)=1-

a

x2

．
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=±

a

．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x

(-∞，-

a

)

-

a

(-

a

，0)

(0，

a

)

a

(

a

，+∞)

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以f（x）在(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)内是增函数，在(-

a

，0)，（0，+∞）内是减函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值为f(

1

4

)与f（1）的较大者，
对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，
当且仅当

f(

1

4

)≤10

f(1)≤10

，即

b≤

39

4

-4a

b≤9-a

，对任意的a∈[

1

2

，2]成立．
从而得b≤

7

4

，所以满足条件的b的取值范围是(-∞，

7

4

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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